Réels ou imaginaires purs ? - Corrigé

Énoncé

Montrer que les nombres suivants sont soit réels soit imaginaires purs.

\(a=z^2-(\overline{z})^2\)

\(b=z\overline{z}\)

\(c=\dfrac{z^2+\overline{z}^2}{z+\overline{z}}\)  avec  \(z+\overline{z}\neq0\)

Solution

\(\overline{a}=\overline{z^2-(\overline{z})^2}=\overline{z^2}-\overline{\overline{z}^2}=(\overline{z})^2-\overline{\overline{z}}^2=(\overline{z})^2-z^2=-a\)  donc  \(a\)  est un imaginaire pur.

\(\overline{b}=\overline{z\overline{z}}=\overline{z}z=b\)  donc  \(b\)  est un nombre réel.

\(\overline{c}=\overline{(\dfrac{z^2+\overline{z}^2}{z+\overline{z}})}=\dfrac{\overline{z}^2+z^2}{\overline{z}+z}=c\)  donc  \(c\) est un nombre réel.